2018年高考数学新课标1--理10<-->2018年高考数学新课标1--理12
已知双曲线C:x23−y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N。若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
由题意a2=3,b2=1,
则F(2,0),
C的渐近线方程为y=±1√3x即y=±√33x,
由于∠NOF=∠OMF=30∘,
则∠NOM=60∘≠90∘,
由双曲线对称性,设∠OMN=90∘,
则|MN|=√3|OM|,
而∠FOM=30∘,∠OMF=90∘,OF=2,
则OM=OF⋅cos30∘=2×√32=√3,
故|MN|=√3×√3=3。
故本题正确答案为B。
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