本题主要考查几何概型。
设$AB=b$，$AC=a$，$BC=c$，$a^2+b^2=c^2$，
因为三半圆分别以$AB$，$AC$，$BC$为直径，
所以以$BC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{c}{2})^2$，
以$AB$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{b}{2})^2$，
以$AC$为直径的圆的面积为$\pi (\dfrac{a}{2})^2$，
所以$S_\text{I} =\dfrac{1}{2}ab$，
$\begin{align}S_\text{II}&=\dfrac{\pi b^2}{8}+\dfrac{\pi a^2}{8}-(\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab)\\&=\dfrac{\pi(b^2+a^2-c^2)}{8}+\dfrac{1}{2} ab\\&=\dfrac{1}{2} ab\end{align}$，
$S_\text{III}=\dfrac{\pi c^2}{8}-\dfrac{1}{2} ab$，
所以$S_\text{I}=S_\text{II}$，
故取到$\text{I}$、$\text{II}$的概率相等，即$p_1=p_2$。
故本题正确答案为A。
