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2018年高考数学新课标1--理9

(2018新课标Ⅰ卷单选题)

已知函数$f(x)=\begin{cases} e^x,x \leqslant 0\\ \text{ln}x,x>0 \end{cases}$,$g(x)=f(x)+x+a$,若$g(x)$存在$2$个零点,则$a$的取值范围是(  )。

【A】$[-1,0)$
【B】$[0,+\infty)$
【C】$[-1,+\infty)$
【D】$[1,+\infty)$
【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第9题
【题情】
本题共被作答17768次,正确率为66.73%,易错项为A
【解析】

本题主要考查函数与方程。

由题意,$g(x)=\begin{cases} e^x+x+a,x \leqslant 0\\ \text{ln}x+x+a,x>0 \end{cases}$,

$g(x)$存在$2$个零点即$g(x)=0$存在两个解;

当$x \leqslant 0$时,$g(x)=e^x+x+a=0$的解等价于$h(x)=e^x+x$与$y=-a$的交点个数($x \leqslant 0$),

因为$h'(x)=e^x+1>0$,所以$h(x)$在$(-\infty ,0]$上单调递增,

所以$h(x)_{max}=h(0)=1$,

当$x \to -\infty$时,$h(x) \to -\infty$;

当$x>0$时,$g(x)=\text{ln}x+x+a=0$的解等价于$\varphi(x)=\text{ln}x+x$与$y=-a$的交点个数($x>0$),

因为$x>0$时,$\varphi'(x)=\dfrac{1}{x}+1>0$,所以$\varphi(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,

画出函数$F(x)=\begin{cases} h(x),x \leqslant 0\\ \varphi(x),x>0 \end{cases}$的图象如图所示,

要使$g(x)$存在$2$个零点,则$-a \leqslant 1$,即$a\geqslant -1$。

故本题正确答案为C。

【考点】
函数与方程
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