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2018年高考数学北京--文20

(2018北京卷计算题)

已知椭圆)的离心率为,焦距为。斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点

(1)求椭圆的方程;

(2)若,求的最大值;

(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为。若和点共线,求

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):文数第20题
【答案】

(1)由题意可知

所以

所以椭圆的方程为

(2)设

联立,整理得

所以

所以当时,的值最大,

所以

(3),所以

联立,得

又因为

代入得

所以

所以

所以

同理

又因为在同一直线上,

所以

所以

化简整理得,即

所以

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线。

(1)根据焦距为可得,再根据离心率可得,然后根据得出,即可得椭圆方程。

(2)设出直线的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得到两点横坐标的关系,再由距离公式计算,即可求得的最大值。

(3)联立直线与椭圆方程,设,用表示出点坐标,设,用点表示出点坐标,再根据在同一直线上,故,建立等式化简可得

【考点】
直线与圆锥曲线
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