已知椭圆:()的离心率为,焦距为。斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,。
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的最大值;
(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为。若,和点共线,求。
(1)由题意可知,,
所以,,
所以椭圆的方程为。
(2)设:,,,
联立,整理得,
,
所以,,。
所以当即时,的值最大,
所以。
(3),所以:,
联立,得,
又因为,
代入得,
所以,
同理,
又因为、、在同一直线上,
化简整理得,即,
本题主要考查直线与圆锥曲线。
(1)根据焦距为可得,再根据离心率可得,然后根据得出,即可得椭圆方程。
(2)设出直线的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得到、两点横坐标的关系,再由距离公式计算,即可求得的最大值。
(3)联立直线与椭圆方程,设为,用、表示出点坐标,设为,用、点表示出点坐标,再根据、、在同一直线上,故,建立等式化简可得。