2017年高考数学新课标2--理19<-->2017年高考数学新课标2--理21
（12分）
设为坐标原点，动点在椭圆：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足。
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。
（1）令，，，故，，故可表为，即，代入可得，即，所以点的轨迹方程为。
（2）设，，则可表为，即，整理得：，即，故的斜率为，故由题知①若，直线的斜率为，又由题知直线过点，故可得其点斜式；由，可得椭圆：左焦点坐标为，代入方程直线，得，可知此等式恒成立，②若，即，则点，过点且垂直于的直线为，也经过点。综上，“过点且垂直于的直线过的左焦点”得证。
本题主要考查曲线与方程。
（1）令，，，根据题意列出等式，然后根据在椭圆上消去参数得到点的轨迹。
（2）设，根据题设可得，进而表示出直线，易得椭圆左焦点坐标为，代入直线方程可知 恒过定点。
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