2017年高考数学新课标2--理20<-->2017年高考数学新课标2--理22
（12分）
已知函数，且。
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且。
（1）方法1：的定义域为。设，则,等价于。因为，，故，而，，得。
若，则。当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以是的极小值点，故。综上，。
方法2：因为函数表达式为，所以，所以等价于。令，则，对进行讨论：若，，显然在时，不符合条件；若，在恒成立，也即在定义域内单调减少，又因为，所以当时，，不符合题意；若，由题意可知在单调减少，在单调递增，若，则在区间上单调递增，，不符合题意；若，则在区间上单调递减，，不符合题意，故；
（2）代入可得；；，可知在上单调递减，在上单调递增，而，，，，所以在有唯一解记为，在有解。所以及的情况如下，
所以存在唯一的极大值点，且，。所以，因为，所以。又由可得，所以，记（），则，当，，所以。
综上所述存在唯一的极大值点，且。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）由解析式可知，所以等价于，分情况讨论即可。
（2）根据（1）得到，判断的解的情况，且满足，化简的表达式，利用的范围及函数单调性求证。
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