2017年高考数学新课标2--理19

（1）证明：作点为的中点，连接，。

如图所示，因为是的中点，

所以是的中位线，即，且，

因为，，

所以，且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以直线平面。

（2）如图所示，取中点，连接，，由于为正三角形 ，所以，因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以平面，所以可以作以为原点，以为轴，以为轴，以为轴的空间坐标系。不妨设，则。又因为为直角三角形，，所以。作，垂足为，所以平面。设，则，。易知即为直线与底面所成角为，所以，解得。因此有，。所以，，，，则，，。设平面的法向量为，所以，即，可取，同样可取平面的法向量，所以。因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为。