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2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第3题
设有下面四个命题
$p_1$：若复数$z$满足$\frac{1}{z} \in R$，则$z \in R$；
$p_2$：若复数$z$满足$z^2 \in R$，则$z \in R$；
$p_3$：若复数$z_1$，$z_2$满足$z_1 z_2 \in R $，则$z_1=\overline{z_2}$；
$p_4$：若复数$z \in R$，则$\overline{z} \in R$。
其中的真命题为( )
【A】$p_1$，$p_3$ 【B】$p_1$，$p_4$ 【C】$p_2$，$p_3$ 【D】$p_2$，$p_4$
先不急看答案哦，自己先做做看吧，加油！
【题情】本题正确率为68.39%，易错项为D
【考点】复数的概念，命题及其关系
--------【开心教练解读】--------
一、【弄清题意】
判断关于复数的命题的真假。
二、【拟定方案】
逐个验证命题的正确性。
三、【执行方案】
对于命题$p_1$，
不妨设$z=a+bi(a，b不同时为0)$，
则$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$，
若$\frac{1}{z} \in R$，则$b=0$且$a \neq 0$，
从而$z=a \in R$，
所以命题$p_1$为真命题；
对于命题$p_2$，
不妨设$z=a+bi$，则$z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$，
若$z^2 \in R$，则$a=0$或$b=0$，
当$a=0$而$b \neq 0$时，$z=bi \notin R$，
所以命题$p_2$为假命题；
对于命题$p_3$，不妨设$z_1=a_1+b_1i$，$z_2=a_2+b_2i$，
则$z_1 z_2=(a_1+b_1i)(a_1+b_1i)=a_1a_2-b_1b_2+(a_2b_1+a_1b_2)i$，
所以若$z_1 z_2 \in R$，则$a_2b_1+a_1b_2=0$，
满足该等式的不一定有$b_1=-b_2$，
所以$z_1=\overline{z_2}$不一定成立，
故命题$p_3$为假命题；
对于命题$p_4$，
不妨设$z=a+bi$，则$\overline{z}=a-bi$，
若$z \in R$，则$b=0$，从而$\overline{z} \in R$，
故命题$p_4$为真命题。
故本题正确答案为B。
四、【题型总结】
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
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