2017年高考数学北京--理15<-->2017年高考数学北京--理17
（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，。
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
（1）设和交点为，连接。因为平面，平面，平面平面，所以。因为四边形是正方形，所以。在中，，，所以，即为的中点。
（2）取中点，连接，并延长。因为，所以。又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面。因为底面为正方形，所以，因为，以为坐标原点，分别以，，为，，轴。建立如图所示的坐标系，则，，，，易知平面的法向量。设平面的法向量，则，即，所以可以取，因此。因为二面角是锐角，所以二面角大小为。
（3）由（1）及（2）知，，所以。设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。
本题主要考查空间向量的应用。
（1）记和交点为，利用线面平行的性质定理得到，从而证明为的中点。
（2）证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求二面角。
（3）根据（2）的直角坐标系，利用向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值。
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