2015年高考数学天津--理16<-->2015年高考数学天津--理18
（本小题满分分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且和分别为和的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。
如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，。又因为，分别为和的中点，得，。
（Ⅰ）依题意，可得为平面的一个法向量。。由此可得。又因为直线平面，所以平面。
（Ⅱ），。设为平面的法向量，则即不妨设，可得。设为平面的法向量，则又，得不妨设，可得。因此有，于是。所以，二面角的正弦值为。
（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得，整理得，又因为，解得。所以，线段的长为。
本题主要考查点、直线和平面的位置关系、空间直角坐标系等。
（Ⅰ）根据已知条件建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，求得平面的法向量和的坐标值，从而证得平面；
（Ⅱ）求平面的法向量和平面的法向量，从而求得二面角的正弦值；
（Ⅲ）设，然后代入化简得到关于的等式，解得的值，从而求得线段的长。
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