2015年高考数学江苏19<-->2015年高考数学江苏21
（本小题满分16分）
设，，，是各项为正数且公差为（）的等差数列。
（1）证明：，，，依次成等比数列；
（2）是否存在，，使得，，，依次成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在，及正整数，，使得，，，依次成等比数列？并说明理由。
（1），，，因此，因此，，，依次构成等比数列。
（2）不存在。理由如下：
假设存在，，使得，，，成等比数列，因为，，，都为正数，所以，，，也都为正数，因此，，，构成等差数列，设其通项为（），由于，，，构成等差数列，且公差为（），设其通项为（），于是，即对都能成立。令，则，因为，所以至多有两个零点，即至多有三个单调区间，所以至多有三个零点，这与都是的零点矛盾。故不存在，，使得，，，构成等比数列。
（3）不存在。理由如下：
假设存在，及正整数，，使得，，，成等比数列，因为，，，都为正数，所以，，，构成等差数列，设其通项为（），又设数列，，，通项为（，），所以，即对都成立。令，令，则。由知，至多有两个零点，则至多有三个单调区间，于是至多只有三个零点，这与都是的零点矛盾。故不存在，及正整数，，使得，，，成等比数列。
本题主要考查等差数列和等比数列。
（1）根据题意可得到，因为为定值，且，即可证明。
（2）假设存在，则，，，构成等差数列，设其通项为（），设数列，，，通项（），由题意可得，化简后令，对求导，由单调性得到的零点个数最多为，不符合题意，故不存在。
（3）此题是（2）的一般情况，解题思路相同。首先假设存在，则，，，构成等差数列，设其通项为（），同理设出数列，，，通项为（，），故，化简后令，对求导，由单调性得到的零点个数最多为，不符合题意，故不存在。
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