2015年高考数学湖北--理20<-->2015年高考数学湖北--理22
（本小题满分14分）
一种作图工具如图所示。是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，。当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为。以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系。
（I）求曲线的方程；
（II）设动直线与两定直线：和：分别交于，两点。若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。
（I）设点（），，，依题意，
，且，
所以，且
即且。
由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于，
于是，故，，代入，可得，
即所求的曲线的方程为。
（II）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有。
（2）当直线的斜率存在时，设直线：（），
由消去，可得。
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即。①
又由可得；同理可得。
由原点到直线的距离为和，可得
。②
将①代入②得，。
当时，；
当时，。
因，则，，所以，
当且仅当时取等号。
所以当时，的最小值为。
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值。
本题主要考查直线与椭圆方程。
（1）设点（），，，依题意构造等式，解出，从而得到，，代入即可得到曲线的方程。
（2）分别讨论直线的斜率不存在与存在的情况；设出直线的方程，与曲线的方程联立，由题意可得，得到与的关系式①；将直线的方程分别与另两条直线方程联立，求出、两点的坐标，得到的关于与的表达式②；结合①②得到的关于的表达式，由的取值范围求得的最小值。
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