2015年高考数学湖北--理21<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，（），为自然对数的底数。
（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令，数列，的前项和分别记为，，证明：。
（I）的定义域为，。
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减。
故的单调递增区间为，单调递减区间为。
当时，，即。
令，得，即。①
（II）；；。
由此推测：。②
下面用数学归纳法证明②。
（1）当时，左边右边，②成立。
（2）假设当时，②成立，即。
当时，，由归纳假设可得
。
所以当时，②也成立。
根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立。
（III）由的定义，②，算术—几何平均不等式，的定义及①得
即。
本题主要考查函数综合，与导数在研究函数中的应用。
（1）求出，由导数的正负性与原函数的增减性的对应关系可得到的增区间与减区间，从而有，令，即可证得①。
（2）求出，，，由此推测②，由数学归纳法证明结论。
（3）结合的定义，②，算术—几何平均不等式，的定义及①得的表达式并化简，即可证得结论。
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