2015年高考数学湖北--理19<-->2015年高考数学湖北--理21
（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产，两种奶制品。生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元；生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元。要求每天产品的产量不超过产品产量的倍，设备每天生产，两种产品时间之和不超过小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量。
（1）求的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有天的最大获利超过元的概率。
（1）设每天，两种产品的生产数量分别为，，相应的获利为，则有
（1）
目标函数为。
当时，（1）表示的平面区域如图，三个顶点分别为，，。
将变形为，
当，时，直线：在轴上的截距最大，最大获利。
当时，（1）表示的平面区域如图，四个顶点分别为，，，。
故最大获利的分布列为
因此，。
（2）由（1）知，一天最大获利超过元的概率，由二项分布，天中至少有天最大获利超过元的概率为。
本题主要考查随机变量及其分布、线性规划。
（1）依据题意列出不等式组，并写出目标函数；分类讨论，通过可行域图象得出最大获利的不同取值，从而得到最大获利的分布列；由随机变量的期望公式可求出数学期望。
（2）由（1）中结论得到一天最大获利超过元的概率，由二项分布的概率计算公式可得到天中至少有天最大获利超过元的概率。
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