2015年高考数学湖北--理18<-->2015年高考数学湖北--理20
（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，，，。
（1）证明：平面。试判断四面体是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值。
（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面。而平面，所以。
又因为，点是的中点，所以。而，所以平面，而平面，所以。
又，，所以平面。
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，。
（2）如图所示，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线。
由（1）可知，平面，所以。又因为底面，所以，而，所以底面。故是面与面所成二面角的平面角。
设，，有，在中，由，得，则，解得。
所以。
故当面与面所成二面角的大小为时，。
本题主要考查空间几何体。
（1）综合利用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质、直线与直线垂直的判定定理可得到平面，；平面，；由，可得平面；
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑。
（2）由题中条件推出是面与面所成二面角的平面角，，，在中求出的值，从而得到。
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