2015年高考数学广东--理18<-->2015年高考数学广东--理20
（本小题满分14分）
设，函数。
（1）求的单调区间；
（2）证明：在上仅有一个零点；
（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点上的切线与直线平行（是坐标原点），证明：。
（1），因此当时，。
、与的关系如下表所示：
因此在上单调递增。
（2），。因为，所以，，故。所以，在上至少存在一个零点，又因为在上单调递增，所以在上只存在一个零点，且在上。
（3）由于点切线与平行，所以，即，所以。。
设，，令，解得。、与的关系如下表所示：
即，即。。
本题主要考查导数在研究函数是的应用。
（1）求导出，得出、与的关系，可得在上单调递增。
（2）根据零点存在定，由于在上单调，并且，所以在上存在零点。
（3）首先将欲证不等式变形得，又，即证，即证恒成立。构造函数，求其最小值为，即恒成立，得证。
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