2015年高考数学广东--理19<-->2015年高考数学广东--理21
（本小题满分14分）
已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点，。
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
（1）将圆方程变形为，可得。
（2）设，则过与中点的直线。
。联立直线与直线方程可得。消去可得。
下面求直线与圆相切时的情况。联立方程。由直线与圆相切，解得，代入上述方程组，解得。又因为为圆的圆心，因此。故曲线 （）。
（3）存在。联立曲线与直线的方程，。
①若与相切，如图所示：
则，代入联立后的方程，解得。因为，所以时曲线与直线只有一个交点。
②若与相交，如图所示：
直线应被夹在直线与直线之间。故。因关于轴对称，故只需求。将横坐标代入得，故。，。故。
综上，。
本题主要考查直线与曲线的关系。
（1）将圆一般方程变形为圆标准方程得解。
（2）首先假设直线斜率，用表示出中点点的坐标，再消去得解。然后再根据圆的范围求出的取值范围。
（3）分两种情况讨论，第一种情况为直线与曲线相切，联立方程令即可，需要验证求出的解是否在的范围内；第二种情况为直线与曲线相交，作图找出临界状态，得解。
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