2015年高考数学福建--理19<-->2015年高考数学福建--理21
（本小题满分14分）
已知函数，（），
（1）证明：当时，；
（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有；
（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有。
（1）令，，则有，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，。
（2）令，，则有，当时，，故在单调递增，，故任意正实数均满足题意，当时，令，得，取，对任意，有，从而在单调递增，所以，即，
综上，当时，总存在，使得对任意，恒有。
（3）当时，由（1）知，对于，，故，令，解得，从而得到，当时，对于，恒有，故满足题意的不存在。当时，取，从而，由（2）知，存在，使得，，此时，令，解得，此时，记与的较小者为，当时，恒有，故满足题意的不存在。当时，由（1）知，，，令，，则有，当时，，所以在上单调递减，故，故当时，恒有，此时，任意正实数均满足题意。
综上，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）构造函数，由函数求出，当时，，即；
（2）构造函数，求得，当时，求得单调性，对任意正实数均满足题意；当，取，对任意，有，，即，综上可知，当时，满足题意；
（3）当，由（1）的条件，列出不等式，解得的取值范围，得到当时，对于，恒有，故满足题意的不存在；当时，由（2）的条件解得，记与的较小值为，当时，恒有，故满足题意的不存在；当时，令，，根据其单调性，得到在上，，故当时，恒有，此时，任意正实数均满足题意，综上。
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