2015年高考数学北京--文18<-->2015年高考数学北京--文20
（本小题满分13分）
设函数，。
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。
（1）由（）得，（，）,由解得。
当时，即时，，单调递增；
当时，即时，，单调递减；
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；在处取极小值。
（2）由（1）知，在区间上的最小值点，。因为存在零点，所以，从而。
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以是在上的唯一零点。
当时，在上单调递减，且，，所以在上仅有一个零点。
综上所述：若存在零点，且在区间上仅有一个零点。
（1）先求导，得到之后讨论单调性，可知当时，取极小值。
（2）由存在零点可知，求出，然后分情况讨论的单调性及在区间上零点的个数，进而得出结论。
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