2015年高考数学北京--文17<-->2015年高考数学北京--文19
(本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,,为等边三角形,,且,,分别为,的中点。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求三棱锥的体积。
(1)因为、分别是、的中点,所以,因为面,平面,所以平面。
(2),是的中点,所以。又因为,且,所以,所以。
(3)在等腰直角三角形中,,所以,,所以等边三角形的面积,又因为,所以三棱锥的体积等于。又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,所以三棱锥的体积为。
本题主要考查直线与面的位置关系。
(1)因为、分别是、的中点,所以,因为,,所以。
(2),是的中点,所以;根据线面垂直的判定定理,,所以。
(3)三棱锥的体积比较容易求出,先求出三棱锥的体积,而三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,答案即可得。
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