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2015年高考数学北京--文18

(2015北京卷计算题)

(本小题满分14分)

如图,在三棱锥中,为等边三角形,,且分别为的中点。

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求证:

(Ⅲ)求三棱锥的体积。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):文数第18题
【答案】

(1)因为分别是的中点,所以,因为平面,所以平面

(2)的中点,所以。又因为,且,所以,所以

(3)在等腰直角三角形中,,所以,所以等边三角形的面积,又因为,所以三棱锥的体积等于。又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,所以三棱锥的体积为

【解析】

本题主要考查直线与面的位置关系。

(1)因为分别是的中点,所以,因为,所以

(2)的中点,所以;根据线面垂直的判定定理,,所以

(3)三棱锥的体积比较容易求出,先求出三棱锥的体积,而三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,答案即可得。

【考点】
点、直线、平面的位置关系
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