2015年高考数学北京--文19<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知椭圆：，过点且不过点的直线与椭圆交于、两点，直线与直线交于点。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。
（1）椭圆的标准方程为，所以，，，所以椭圆的离心率；
（2）因为过点且垂直于轴，所以可设，，直线的方程为。令，得，所以直线的斜率；
（3）直线与直线平行，证明如下：
当直线的斜率不存在时，由（2）可知，。又因为直线的斜率，所以。
当直线的斜率存在时，设其方程为（）。设，，则直线的方程为。令，得点。由得，所以，，直线的斜率。因为。所以，所以。
综上可知，直线与直线平行。
本题主要考查直线与方程、直线与圆锥曲线。
（1）由椭圆的标准方程、性质即可算出；
（2）设，，得直线的方程的表达式。令，得，即可得直线的斜率；
（3）分两种情况讨论：（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率，直线与直线平行；(ii)当直线的斜率存在时，设其方程为（），，，可得直线的方程，令，得点的坐标。由得，所以，，可得直线的斜率，直线与直线平行。
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