2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：文数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：文数第22题
（本题满分15分）
已知函数，若在上的最小值记为。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，恒有。
（Ⅰ）因为，，所以
（ⅰ）当时，若，则，，故在上是减函数；若，则，，故在上是增函数，所以；
（ⅱ）当时，有 ，则，，故在上是减函数，所以。
综上，。
（Ⅱ）令
（ⅰ）当时，。若，，得，则在上是减函数，所以，在上的最大值是，且，所以，故；
若，，得，则在上是减函数，所以，在上的最大值是，令，，知在上是增函数，所以，，即，故；
（ⅱ）当时，，故， 得，此时在上是减函数，因此 在上的最大值是，故。
综上，当时，恒有。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）对的范围进行分类讨论，在不同的的范围上拆去绝对值符号后得到各自区间上的最小值；
（2）同样的，对和的范围进行分类讨论，并将（1）中条件代入故可得证明。
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