2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：文数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，。
（Ⅰ）若，求点的坐标；
（Ⅱ）求面积的最大值。
（Ⅰ）由题意知焦点，准线方程为。设，由抛物线定义知，得到，所以或。由，分别得或。
（Ⅱ）设直线的方程为，点，，。由得，于是，，，所以中点的坐标为。
由，得，所以。由，得。由，，得，又因为，点到直线的距离为，所以。记，令，解得，。可得在上是增函数，在是减函数，在是增函数，又。所以，当时，取到最大值，此时，所以，面积的最大值为。
本题主要考查抛物线与直线方程。
（1）设出点坐标，根据抛物线定义建立方程解出点坐标，与已知条件相比较即可得到结论；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据已知条件建立方程求得的长，根据点到直线距离公式得到到边的距离，故可得到三角形面积表达式，根据其增减性即可得到其最大值。
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