2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：文数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：文数第22题
（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。
（Ⅰ），，曲线在点处的切线方程为，由题设得，所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，由题设知，当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根；
当时，令，则，，在单调递减，在单调递增，所以，所以在没有实根。
综上，在有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。
本题主要考查曲线与方程。
（Ⅰ）通过对函数方程求导，得到切线的方程的斜率；又根据切线与横轴的交点，解得未知数的值。
（Ⅱ）将求交点问题化简为求方程的根的问题。通过对方程求导，判断函数的单调性从而判断方程的根的情况，即可以证明原命题正确。
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