2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点。
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）设二面角为，，，求三棱锥的体积。
（Ⅰ）连结交于点，连结。因为为矩形，所以为的中点，又是的中点，所以。平面，平面，所以平面。
（Ⅱ）因为平面，为矩形，所以，，两两垂直。如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则，，。设，则，。设为平面的法向量，则即，可取，又因为为平面的法向量，由题设，即，解得，因为为的中点，所以三棱锥的高是，三棱锥的体积。
本题主要考查空间向量及其运算以及空间向量的应用。
（Ⅰ）由线面平行定理可得；
（Ⅱ）建系，利用平面的法向量和平面的法向量求出二面角的大小，并据此求出到面的距离，即为高，从而求出的体积。
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