2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，、分别为、的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值。
（Ⅰ）证明：
方法一：过作，垂足为，连接。由可证出≌。所以，即。又，因此面。又面，所以。
方法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。易得，，，，因而，，所以，，因此。从而，所以。
（Ⅱ）
方法一：过作，垂足为，连接。因为平面平面，从而平面，又，由三垂线定理知。因此为二面角的平面角。在中，，由知，，因此，从而，即二面角正弦值为。
方法二：平面的一个法向量为。设平面的法向量。又，，由得其中一个。设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则。因此，即所求二面角正弦值为。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
（Ⅰ）通过证明直线与另一个平面内的两条直线垂直，证明直线与平面垂直，进而证明直线与平面内的直线垂直；
（Ⅱ）同时垂直于两个平面公共直线的两条边所组成的角为二面角的平面角，进一步求得二面角的正弦值。
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