2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第21题
（本小题满分12分）
圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点（如图），双曲线过点且离心率为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点。若以线段为直径的圆过点，求的方程。
（Ⅰ）设切点坐标为，，，则切线斜率为，切线方程为，即。此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为。由知当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点的坐标为。由题意知，解得，。故方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，，由此设的方程为，其中。由在上得，解得。因此方程为。显然，不是直线。设的方程为，点，。由得。又，是方程的根，因此。由，，得。因为，，由题意知，所以。将①②③④代入⑤式整理得，解得或。因此直线的方程为或。
本题主要考查圆锥曲线。
（Ⅰ）先设点坐标，建立切线方程，根据三角形面积最小求点坐标，带入双曲线方程，最后得到双曲线方程；
（Ⅱ）先求出椭圆的方程，再建立直线的方程，根据直线与椭圆相交关系进行求解。
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