2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第21题
（本小题满分14分）
已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为。
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有。
解法一：
（Ⅰ）由，得。又因为，得。所以，。令，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值。
（Ⅱ）令，则。由（Ⅰ）得，故在上单调递增，又因为，因此，当时，，即。
（Ⅲ）
①若，则。又由（Ⅱ）知，当时，。所以当时，。取，当时，恒有。
②若，令，要使不等式成立，只要成立。而要使成立，则只要，只要成立。令，则，所以当时，，在内单调递增。取，所以在内单调递增，又，易知，，，所以。即存在，当时，恒有。
综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
解法二：
（Ⅲ）对任意给定的正数，取，由（Ⅱ）知，当时，，所以，当时，，因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
解法三：
（Ⅲ）首先证明当时，恒有。证明如下：令，则。由（Ⅱ）知，当时，，从而，在单调递减，所以，即。取，当时，有。因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）导数等于的点可能为极值点，通过计算函数的单调区间求得函数的极值；
（Ⅱ）比较两个函数值得大小，通过两个函数相减构造新函数的方法，计算得到新函数的范围（大于或小于），进而得到两个函数的大小关系；
（Ⅲ）同样通过构造新函数的方法，并且巧妙运用前面已经得出的结论，进行两个函数的比较。
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