2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第20题
（本小题满分13分）
已知双曲线：（，）的两条渐近线分别为：，：。
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）如图，为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、四象限），且的面积恒为。试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。
解法一：
（Ⅰ）因为双曲线的渐近线分别为，，所以，所以，故，从而双曲线的离心率。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的方程为。设直线与轴相交于点。当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，则，，又因为的面积为，所以，因此，解得，此时双曲线的方程为。
若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为。
以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线：也满足条件。
设直线的方程为，依题意，得或，则。记，。由得，同理得。由得，即。由得。因为，所以，又因为，所以，即与双曲线有且只有一个公共点。
因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为。
解法二：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的方程为。设直线的方程为，，。依题意得。由得，同理得。设直线与轴相交于点，则。由，得，所以。由得。因为，直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当，即，即，即，所以，因此存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为。
解法三：
（Ⅱ）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，。依题意得或。由得，因为，，所以，又因为的面积为，所以，又易知，所以，化简得。所以，即。由（Ⅰ）得双曲线得方程为，由得，因为，直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当，即，所以，所以双曲线的方程为。
当轴时，由得面积等于可得：，又易知：与双曲线：有且只有一个公共点。
综上所述，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为。
本题主要考查双曲线的方程与性质。
（Ⅰ）根据双曲线的渐近线与双曲线方程中、的关系，求得、的关系，进而求得离心率；
（Ⅱ）通过联立双曲线方程和直线方程，得一元二次方程，根据其判别式求得双曲线方程。
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