2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额。
（Ⅰ）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求：
（ⅰ）顾客所获的奖励额为元的概率；
（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成。为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡。请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。
（Ⅰ）设顾客所获的奖励额为。
（ⅰ）依题意，得，即顾客所获的奖励额为元的概率为。
（ⅱ）依题意，得的所有可能取值为，。，，即的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为（元）。
（Ⅱ）根据商城的预算，每个顾客的平均奖励额为元。所以，先寻找期望为元的可能方案。对于面值由元和元组成的情况，如果选择的方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为元；如果选择的方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是元。因此可能的方案是，记为方案。
对于面值由元和元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案。
以下是对两个方案的分析：
对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，则的分布列为
的期望为，的方差为。
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差比方案小，所以应该选择方案。
本题主要考查古典概型。
（Ⅰ）利用排列组合来计算古典概型的概率以及期望；
（Ⅱ）两种方案的期望都符合要求，通过比较方案的方差来选择更加适合的方案。
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