2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：文数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：文数第20题
（本大题满分12分）
如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设直线与平面的距离为，求二面角的大小。
解法一：（Ⅰ）因为平面，平面，故平面平面。又，所以平面。连接，因为侧面为菱形，故。由三垂线定理得。
（Ⅱ）平面，平面，故平面 平面，作，为垂足，则平面。又直线平面，因而平面，又直线平面，因而为直线与平面的距离，。因为为的平分线，故。做，为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角。由得为的中点，，。所以二面角的大小为。
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。由题设知与轴平行，轴在平面内。
（Ⅰ）设，由题设有，，，则，，，，。由得，即。 ① 于是，所以 。
（Ⅱ）设平面的法向量，则，，即，。因，，故，且。令，则，，点到平面的距离为，又依题设，到平面的距离为，所以。带入①解得（舍去）或。于是。设平面的法向量，则，，即，，，且，令，则，,，又为平面的法向量，故。所以二面角的大小为。
本题主要考查线面关系的判定和二面角。
这里提供两种思路：一、几何法
（1）根据线面关系和三垂线定理即可得到结论；
（2）作出如图所示的辅助线，根据边角关系得到所要求的二面角的具体角，根据各边的长即可得该角的正切值，即得该角的大小；
二、坐标系法
得到各点坐标值，根据直线方向向量乘积为得到两条直线垂直，通过求二面角所在的两平面的法向量的夹角即可得到二面角。
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