2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
如图，四棱柱中，，四边形为梯形，，且，过，，三点的平面记为，与的交点为。
（Ⅰ）证明：为的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小。
（Ⅰ）因为，，，，所以平面平面，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即。故与的对应边相互平行，于是，所以，即为的中点。
（Ⅱ）解：如第（20）题图1，连接。设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则。
，
，所以，又，所以，故。
（Ⅲ）解法1：如第（20）题图1，在中作，垂足为，连接。又因为，且，所以平面，于是，所以为平面与底面所成二面角的平面角。
因为,，所以，。于是，，故平面与底面所成二面角的大小为。
解法2：如第（20）题图2，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系，设。
因为，所以，从而，，所以，，设平面的法向量，由得，所以。又因为平面的法向量，所以。
故平面与底面所成二面角的大小为。
本题主要考查线面关系的判定和二面角。
（Ⅰ）将所要证明化为证明成立，根据已知条件得与的对应边相互平行，得证。
（Ⅱ）被此四棱柱平分的两部分分别为不规则的几何体，可将其分割成棱锥求解体积，因为四棱柱的各边长未知，则可通过设未知量求体积，然后作比将未知量消掉。
（Ⅲ）利用已知条件通过作辅助线作出平面和底面的二面角，根据边角关系即可得到结论；或者建空间直角坐标系，得到各点坐标，则可得二面角所在平面的法向量，也可得到结论。
全网搜索"2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第20题"相关
