2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分13分）
设实数，整数，。
（Ⅰ）证明：当且时，；
（Ⅱ）数列满足，。证明：。
（Ⅰ）①当时，；
②假设时不等式成立，
当时，
，所以时，原不等式也成立。
综合①②可知，当且时，对一切整数，不等式均成立。
（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。
①当时，由题设知成立。
②假设时，不等式成立。
由易知。
当时，因为，由得，
由（Ⅰ）中的结论得，
因此，即，所以当时，不等式也成立；
综合①②可知对一切正整数，不等式均成立。
再由可得，即；
综上所述，。
证法2：设，，则，
并且；
由此可知在单调递增，当时，。
①当时，由可知，并且，从而，故当时，不等式成立；
②假设时不等式成立，则当时，，即有，所以当时，原不等式也成立。
本题主要考查数学归纳法。
（Ⅰ）用数学归纳法证明。
（Ⅱ）用数学归纳法并根据（Ⅰ）中结论证明得出，根据得，得证；或者构造函数，通过求导得到其单调区间，最后利用数学归纳法也可得证。
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