2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数第19题
（本题满分12分）
如图，直三棱柱中，，分别为，的中点。。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值。
（Ⅰ）连结交于点，则为的中点。
又是的中点，连结，则。
因为平面，平面，
所以平面。
（Ⅱ）由得，。
以为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系。
设，则，，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，
可取。
同理可得平面的一个法向量为：，
于是，
从而：。
所以二面角的正弦值为。
本题主要考查线面平行、二面角的求解。
（Ⅰ）欲证明线面平行，只需证明平面外的该直线与平面内一条直线平行；
（Ⅱ）求二面角正弦值可通过建立空间直角坐标系的方法。求得两个半平面所在平面的法向量，然后利用，进而可以求得。
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