2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第21题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第23题
（本小题满分16分）
已知函数。无穷数列满足。
（1）若，求；
（2）若，且成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由。
（1）；
（2），
①当时，，所以，得；
②当时，，所以，得（舍去）或。
综合①②得或；
（3）假设这样的等差数列，那么。由得。
再分情况讨论：①当时，由得，与矛盾；
②当时，由得，从而，所以是一个等差数列；
③当时，可得公差，因此存在着使得，这与矛盾。
综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列。
本题主要考查函数的计算、等比数列和等差数列以及常用数学假设推理方法。
（1）熟练掌握根据已知条件进行函数计算；
（2）对于含绝对值的函数要先列出函数表达式，再分情况讨论，对于通过方程求得的解要判断是否符合条件，合理删去不可能解；
（3）对需要判断是否存在解集的问题要用假设法，先假设存在，然后分情况讨论，根据题中已给条件求出各种情况下的解集。若求得的解与题中已知条件矛盾，则假设错误，若符合题中条件，则假设成立，求得的解是可能解。
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