2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第22题<-->返回列表
（本小题满分18分）
如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”。
（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：圆内的点都不是“型点”。
（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；
（2）直线与有交点，则，若方程组有解，则必须；
直线与有交点，则
，若方程组有解，则必须。
故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”。
（3）过圆内一点的直线若与曲线有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线交于点，则
，
直线与圆内部有交点，故。
化简得，①
若直线与曲线有交点，则
化简得，②
由①②得。
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立；
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线和有交点，
即圆内的点都不是“型点” 。
本题主要考查双曲线和绝对值函数的基本知识，运用曲线与方程的应用。
（1）可任取一条直线。此类问题具有开放性，一般选取平行于轴或轴以及等特殊曲线。本题中直线满足条件；
（2）本题中将与曲线方程联立，通过函数有实数解的相关知识推导出。第二问可先假设原点是“型点”。将直线方程与双曲线方程联立求解，判断的取值范围，再与上一问所得的结论相比较，就可推导出假设错误，得知原点不是“型点”。
（3）直线上存在圆内部的点等价于圆心到直线的距离小于半径。因为曲线与都关于原点对称，所以可以在第一象限内分析此题。本题主要是计算值的范围，判断出圆内的点都不是 型点。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第23题"相关
