2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题
(本小题满分13分)
已知椭圆:,的两个焦点分别为,,且椭圆经过点。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程。
(Ⅰ)由椭圆定义知,,所以,又由已知,所以椭圆的离心率。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆的方程为,设点的坐标为。
(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于,两点,此时点的坐标为。
(2)当直线与轴不垂直时,设直线的方程为。因为,在直线上,可设点,的坐标分别为,,则,,又,由得,即
将代入中,得
由,得。由可知,,,代入中并化简,得
因为点在直线上,所以,代入中并化简,得。由及,可知,即。又满足,故。由题意,在椭圆内,所以,又由有且,则。所以,点的轨迹方程为,其中,。
本题主要考查椭圆的性质。
(Ⅰ)椭圆离心率为,由椭圆的性质及已知条件可求;
(Ⅱ)分类讨论:当直线与轴垂直与当直线与轴不垂直两种情况。当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,联立直线与方程,消去,利用韦达定理和确定中坐标范围,进而求得轨迹方程。
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