2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第20题
(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,、分别是线段、的中点,是线段的中点。
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值。
(Ⅰ)如图,在平面内,过点作直线,因为在平面外,在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面,由已知,,是的中点,所以,,则直线,因为平面,所以直线,又因为,在平面内,且与相交,所以直线平面。
(Ⅱ)解法一:
连结,过作于,过作于,连接。由(Ⅰ)知,平面,所以平面平面。所以平面,则。所以平面,则。故为二面角的平面角(设为)。设,则由,,有,,。又为的中点,所以为中点,且,。所以在中,;在中,。从而,,所以,,故二面角的余弦值为。
解法二:
设,如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合),则,。因为的中点,所以分别为,的中点,故,,所以,,。设平面的一个法向量为,则,即,故有,从而,取,则,所以。设平面的一个法向量为,则,即,故有,从而,取,则,所以。设二面角的平面角为,又为锐角,则,故二面角的余弦值为。
本题主要考查立体几何线面垂直、二面角的求解。
(Ⅰ)证明线面垂直,只需证明线与面中两条相交直线垂直;
(Ⅱ)解法一:(几何法)作图找到为二面角的平面角,求出二面角余弦值即可;解法二:(建系法)建立平面直角坐标系,然后求出两个半平面的法向量,。然后由可得二面角的平面角的余弦值。
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