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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题

(2013四川卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数,其中是实数。设为该函数图象上的两点,且

(Ⅰ)指出函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;

(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为

(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点处的切线斜率为,点处的切线斜率为,故当点处的切线与点处的切线垂直时,有。当时,对函数求导,得,因为,所以,所以,因此,当且仅当,即时等号成立。所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为

(Ⅲ)当时,,故

时,函数的图象在点处的切线方程为,即

时,函数的图象在点处的切线方程为,即,两切线重合的充要条件是,由,由得,。设),则,所以是减函数,则,所以。又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是,故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是

解读

求参数范围时,不仅要满足必要条件,还要满足充分条件。本题中,求出参数的取值范围后还应说明在这个范围中,重合的切线确实存在。

【解析】

本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数中的应用。

(Ⅰ),函数单调递增;,函数单调递减;

(Ⅱ)处的切线斜率为,点处的切线斜率为,点处的切线与点处的切线垂直时,有。则求满足的最小值;

(Ⅲ)两切线重合,则斜率和截距对应相等,求满足此条件的参数的范围。

【考点】
导数的概念及其几何意义导数的运算导数在研究函数中的应用
【标签】
特殊与一般的思想
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