2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第14题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第16题
设为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点的距离之和最小,则称点为点的一个“中位点”。例如,线段上的任意点都是端点的中位点.则有下列命题:
①若三个点共线,在线段上,则是的中位点;
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是_____。(写出所有真命题的序号)
①④
本题主要考查立体几何空间想象能力。
①项,由新定义的中位点概念知到的距离之和为为最小,故①为真命题;
②项,若直角三角形的三边分别为,则斜边中点到三个顶点的距离之和,此时直角顶点到三个顶点的距离之和为,故②为假命题;
③项,不妨设在线段上,中位点只能在线段上,此时,只要最小即可,点在线段上均满足,故③为假命题;
④项,设两条对角线的交点为。因为,,所以,当与重合时取等号,故④为真命题。
综上可知真命题为①④。
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