2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第20题
（本小题满分14分）
设数列的前n项和为。已知。
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有。
（1）依题意，，又，所以。
（2）时，，
，
两式相减得，
整理得，即，又，
故数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以。
（3）当时，；
当时，；
当时，，
此时。
综上所述，对一切正整数，有。
本题主要考查数列的求解以及数列的性质。
（1）中只需将的值代入到等式中即可求出的值。
（2）将原等式化为标准形式再用递推法列出与的关系，联立两式即可求得的通项公式。此处需要检验是否也满足所求公式。
（3）中根据的通项公式利用消去法可证明不等式，要注意对和时的情况进行检验。
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