2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第19题
（本小题满分14分）
如左图，在等腰直角三角形中，，，分别是上的点，，为的中点。将沿折起，得到如右图所示的四棱椎，其中。
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。
（1）设为的中点，连接计算得，
因为为等腰底边的中线，所以，
因为在原等腰底边的高线上，所以，
又因为平面，所以平面。
因为平面,，所以。
在中，，所以，
因为，平面，平面，
所以平面。
（2）解法一：如图，过作的垂线交的延长线于，连接，
因为平面，平面，所以。
因为，所以平面，
因为平面所以。
所以为所求二面角的平面角。
在中，， ，
于是在中，，
所以。
解法二：如图，以为原点，分别以为轴正方向，建立直角坐标系。于是 ，，
设为平面的一个法向量，则于是
故
，取，
再取平面的一个法向量，设与的夹角为，则由图可知，二面角的平面角的余弦值为。
本题考查线面垂直证明与二面角的求解。
（1）中构造直线，可以得到，故，再利用勾股定理得到，从而得到线面垂直。
（2）中可使用线与平面的关系求得二面角，也可建立直角坐标系，求出两个面的法向量，从而求出二面角。
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