2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和 十等分，分点分别记为，，连接，过点作轴的垂线与交于点。
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；
（2）过点作直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积之比为，求直线的方程。
（1）依题意，过且与轴垂直的直线方程为，的坐标为，所以直线的方程为，
设的坐标为，由，
得，即。
所以点都存在同一条抛物线上，且抛物线的方程为。
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为。
由 得，
此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点。
设，则
因为，所以。
又，所以，
分别代入①和②，得，解得，
所以直线的方程为，即或。
本题主要考查圆锥曲线基本概念以及几何性质的运用。
（1）利用点和点的坐标联立，可求得抛物线的方程；
（2）假设存在符合条件的直线，设出方程形式再与（1）中所求抛物线方程联立，可得点的坐标。再按条件用面积比求解，即可求出直线的方程。
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