2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第20题
（本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，。
（1）求证：点平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）
（1）取的中点，连结。
因为，所以四边形为平行四边形，所以且，
在中，因为，所以，所以，即，
又因为所以
因为 平面，平面，所以，所以平面。
（2）以 为原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以。
设平面的法向量，则由，
得 ，取，得。
设与平面所成角为，则
解得，故所求的值为1。
（3）共有4中不同的方案：
。
本题主要考查直线与平面的位置关系，以及直线与平面的夹角计算。
（1）要证平面，则只需证明与平面中两条相交直线垂直即可，需要另构造平面证明；
（2）本题用向量法解较简单，可采用间接法用和平面的法向量的夹角的正弦值列方程，从而求的值。
（3）由于该棱柱侧面不规则，故只能沿侧面拼接，共4种方案。最小的表面积的方案必定是将侧面积中最大的面重叠的，再按表面积的求解方法求解即可。
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