2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第19题
(13分)
设为曲线在点处的切线。
(1)求的方程;
(2)证明:除切点之外,曲线在直线的下方。
(1)设,则。所以。所以的方程为。
(2)令,则除切点之外,曲线在直线的下方等价于。满足,且。当,,故单调递减;当,,故单调递增。所以。所以除切点之外,曲线在直线的下方。
本题主要考查函数求导的问题。
(1)先对函数求导得,将点的坐标值代入到导函数中,即为切线的斜率,又已知点的坐标,则可得切线的方程;
(2)先构造函数,求导得,在上,单调递减;在时,,单调递增。故可得极小值为。即(),从而得证,除切点之外,曲线在直线的下方。
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