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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第18题

(2013北京卷计算题)

(13分)

为曲线在点处的切线。

(1)求的方程;

(2)证明:除切点之外,曲线在直线的下方。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第18题
【答案】

(1)设,则。所以。所以的方程为

(2)令,则除切点之外,曲线在直线的下方等价于满足,且。当,故单调递减;当,故单调递增。所以。所以除切点之外,曲线在直线的下方。

【解析】

本题主要考查函数求导的问题。

(1)先对函数求导得,将点的坐标值代入到导函数中,即为切线的斜率,又已知点的坐标,则可得切线的方程;

(2)先构造函数,求导得,在单调递减;在时,单调递增。故可得极小值为。即),从而得证,除切点之外,曲线在直线的下方。 

【考点】
导数的概念及其几何意义导数在研究函数中的应用
【标签】
分类讨论思想函数与方程的思想
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