2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第16题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第18题
如图,在三棱柱中,是边长为的正方形。平面 平面,,。
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值。
(1)因为为正方形,所以。 因为平面平面,且垂直于这两个平面的交线,所以平面。
(2)由(1)知,。由题知,,,所以。如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,,,。设平面的法向量为,则,即。令,则,。同理可得,平面的法向量为,则。
(3)设是直线上一点,且,所以。解得,,。所以。由,即,解得。因为,所以在线段上存在点,使得。此时,。
本题主要考查立体几何的判定定理及空间向量及其运算。
(1)本问主要考查“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直”的判定定理。只需证明直线与平面上的两条相交直线垂直即可;
(2)本问主要考查向量法,建立空间向量,以为原点,即易得二面角的余弦值;
(3)本问利用(2)中所建立的向量关系,可求得的值。
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