2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第21题
（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，且平面，，，分别为，的中点。
（1）证明：平面；
（2）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值。
（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以。
又因为平面，所以平面。
（2）在菱形中，，得，。又因为平面，所以，，。所以。所以。而分别是的中点，所以，且。取线段的中点，连结，则，，所以为二面角的平面角。由，，故在中，，得。在直角中，，得，，。在中，，得。在等腰中，，，得。在中，，，，得。所以二面角的平面角的余弦值为。
本题主要考查线面平行的证明和求解二面角。
（1）欲证明平面，只需证明与平面上的一条直线平行且直线不在平面上。由题可得，故平面。
（2）连接，可得，连接，得，取中点，连接和，故可得，，则即为二面角的平面角。分别求得的三边长。由余弦定理得。所以二面角的平面角的余弦值为。
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