2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第22题
（本小题满分15分）
如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为。不过原点的直线与相交于两点，且线段被直线平分。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积取最大时直线的方程。
（1）设椭圆左焦点为，则由题意得，得所以椭圆方程为。
（2）设，，线段的中点为。
当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去。
故可设直线的方程为，由消去，整理得①则，，所以线段的中点。因为在直线上，所以。得（舍去）或。此时方程①为，则，所以。设点到直线距离为，则。设的面积为，则，其中。令，。所以，当且仅当时，取到最大值。故当且仅当时，取到最大值。
综上，所求直线方程为。
本题主要考查椭圆方程的求解和利用函数求导求极值。
（1）由椭圆的离心率和左焦点到的距离得两方程，联立得。故可得椭圆方程为。
（2）联立椭圆和直线方程，可求得，点到直线的距离。故，构造函数求导得当且仅当，取最大值。则所求直线方程为。
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