2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：文数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：文数第22题
（本题满分12分）
设函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值。
（Ⅰ）的定义域为 ，对 求导得。
若 ，则 ，所以在单调递增；
若 ，则当时， ，当 时，，所以，在 单调递减，在 单调递增。
（Ⅱ）由于 ，所以 。
故当时，等价于
令，则 。
由（Ⅰ）知，函数 在 单调递增。而 ， ，所以 在存在唯一的零点，即 在存在唯一的零点。
设此零点为 ，则。当 时， ；当 时，。所以在的最小值为 。
又由 ，可得 ，所以 。
由于式等价于，故整数的最大值为。
本题主要考查函数、导数运算、导数在研究函数性质中的应用以及综合分析能力。
（Ⅰ）欲求解的单调区间，可先对求导数。因为导数中含有参数，所以需要根据和分类讨论，分别求解出对应的单调区间。
（Ⅱ）代入可得恒成立，可等价为恒成立。令，则只需满足即可，即需要求出的最小值。通过对求导，利用（Ⅰ）中结果可求出的唯一零点在区间中，进而最小值在中，故的最大值为2。
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